群論とは

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群論についての記事を集めたカテゴリ。

群 (group) は、ある観点から見て同じ性質を持っている物の集まりで、群論はそれを研究する数学の一分野である。

「群論」関連ページ一覧

20100101 - giza @ ウィキ
代数学の諸分野 * 半群論 * 群論 * 環論 * 体論 * 線型代数学（線形代数学） * 多元環論（cf.リー環論） * 束論 * 代数的整数論（cf.解析的整数論） * 不変式論 * 保型形式論 → 表現論、調和解析 * 可換環論 → 代数幾何学
2010年01月1日 00:35:08
可解群 - warawanu @ ウィキ
可解群D0=G から Di=[Di−1, Di−1] を帰納的に作り，終に Dn={1} に至るときにGは可解群であるという。各DiはDi−1の正規部分群であり，商群Di−1/Diは可換である。DiはGの正規部分群でもある。可解性は可換性よりも弱い。交替群でいえばA3が可換，A4が非可換で可解，A5以上が非可解である。歴史的にはA5の非可解性が群論の一つの源になっている。可解群の部分群は可解群である。可解群の商群は可解群である。有限個の可解群の直積は可解群である。可解群の可解群による拡大は可解群である。Feit-Thompsonの定理Fitting部分群
2010年01月25日 01:39:58
位数 - warawanu @ ウィキ
群の位数とは台集合の濃度をいう。位数が有限な群を有限群という。単に群論といえば主に有限群を扱うが，そのための最も基本的な道具は位数であるといって良い。その位数を有用な道具にしているのがラグランジュの定理である。群の公理の結合律のみを満たすものは半群である。単位元は逆元を定義するための便宜に過ぎない。逆元の公理こそが群を群にしていると考えて良い。逆元の公理から消去律が得られ，消去律からラグランジュの定理が得られる。ラグランジュの定理は群の基本定理と呼ぶに値する。(ラグランジュの定理) 有限群の部分群の位数は群の位数の約数である。〔証明〕 Gを有限群，HをGの部分群とする。剰余類の集合をG/Hと書く。gH = {gh | h∈H} (g∈G)G/H = {gH | g∈G}消去律 h1 ≠ h2 ⇔ gh1 ≠ gh2 から |gH|=|H| を得る。また，g1H ∩ g2H ≠ ∅ であれば g1h1=g2h2 (∃h1,h2∈H) であるから g2H = g1h1h2−1H = g1H となる。従い，Gは整数個の剰余類へと分割され，各剰余類はHと同じ数の元を含む。即ち，G の位数はHの位数の整数倍である。群の元aの位数とはaが生成する部分群 (a) = {an | n∈Z} の位数をいう。元の位数は群から正整数への関数になり，位数によって群論の問題が数論の問題に帰着することが多い。元の位数について以下が成立する。元の積abの位数はaの位数とbの位数の最小公倍数の約数である。pとqを互いに素とする。位数pqの元は位数pの元と位数qの元の積である。
2009年12月12日 23:06:22
右と左 - warawanu @ ウィキ
作用y=f(x)のfは左からxに作用している。行列Tがベクトルvに作用しているときにはTvと書くのが普通であるが，この場合もTがvに左から作用している。しかし，商群G/Nの元はaNの形に書かれる。このaNは左剰余類とも呼ばれるが，実はNの右作用による軌道である。ここで右作用の形が用いられる理由はスラッシュ記号の形にあるのかもしれないが，正規部分群と環のイデアルの類似も見逃せない。イデアルは環の作用を受ける加群であるが，環の作用を左から受けるためには右から環に作用しなければならない。また，gによる右共役作用はxg=g−1xg，左共役作用はgx=gxg−1と書かれる。(gh)x=g(hx)であるから，左共役の記号が左肩に乗るのは理に適っている。しかし，逆元x−1や冪指数x3は右肩に乗り，左肩の記号と右肩の記号が入り交じると見苦しい。これが群論で右作用が好まれる理由であろうか。結論として，作用は右作用を主とする。交換子交換子[x,y]の定義としてx−1y−1xyとxyx−1y−1があるが，自然な選択は共役の形に依存する。[x,y]=x−1y−1xy ⇒ xy=yx[x,y], xy=x[x,y][x,y]=xyx−1y−1 ⇒ xy=[x,y]yx, xy=[x,y]y
2010年01月24日 21:34:59
目次 - 散逸への反定立
数学定義位相空間の公理開集合，近傍系，基本近傍系，開基，準開基線形空間に入る構造内積，双１次形式，ノルム，２次形式，距離群論群，準同型定理，（Galois群，Lie群）環論環，イデアル，整域（UFD,PID），（R加群，ベクトル空間）体論体，商体，剰余類体，代数群環，多元環，斜体，多重線形代数スタブ収束（数列，点列），集合の上極限・下極限，（ネットとフィルタ），距離空間，級数，関数列，Banach，確率論微分方程式の分類多様体スタブLie群スタブ定理逆関数定理実数の完備性 (Abbott) 実数の完備性公理，区間縮小法，単調収束定理，Bolzano-Weierstrass，Cauchys criterion選択公理選択公理，整列可能定理，Zornの補題，Banach-Tarski代数閉体の存在定理スタブ微積分学の基本定理 R積分、L微分、RN微分代数学の基本定理スタブアーベル群の基本定理スタブ変分法の基本補題Sobolevの埋め込み定理 Poincare不等式，Sobolev不等式，埋め込み定理，レリッヒの埋め込みスタブ関数解析の諸定理 Arzera-Ascoli，Weierstrassの多項式近似定理，Baireのカテゴリー，Banach-Steinhaus，Hahn-Banachの拡張定理ルベーグ積分の収束定理 Fatouの補題，Beppo-Leviの単調収束定理，Lebesgueの優収束定理Fubiniの定理 Tonelli,Fubini有用な不等式 Jensen, Hölder, Schwaltz, Young, Mincowski, Cramer-Rao 例理解を深める問題名前のついた方程式 NS, Sch, Maxwell, HHさまざまな図形位相空間，多様体，フラクタルスタブおもしろい数列いろいろな関数列積分列空間の相関図集合と写像関数のクラス連続関数微分可能な関数有界変動と絶対連続Lp関数写像同型と射影準同型定理，位相的性質作用素掛け算作用素とかスタブ一次変換二次行列のベクトル図の分類歴史的に有名な関数とかcantor集合cantor関数病的な関数 Dirichlet, Thomae, WeierstrassDirichlet積分 Sinc関数の積分を巡って証明の小技収束・発散閉包をとる閉である。上限ルベーグ積分の小技行列の直和変数変換と周辺化期待値計算のミソ期待値と分散の公式最小化１の分割スタブ軟化子切断（切り落とし関数・Bump-ft.）スタブ公式集 Taylor展開Laplace変換性質，典型的な変換Fourier変換多変数とか重積分の変数変換線形変換・畳み込み，一般の変換・極座標変換Laurent展開と留数定理主要な関数のローラン展開，応用置換積分スタブ超関数行列行列式行列の成分計算行列の基本変形 LU分解 LDU分解 Cholesky分解(LL) 修正Cholesky分解(LDL); QR分解Frobenius内積行列の微分正則行列スタブ対角行列三角行列対称行列とエルミート行列交代行列についてもスタブ直交行列とユニタリ行列スタブ冪零行列スタブ正定値行列スタブその他略記法数学の歴史ストーリーとして独立したトピック線形代数行列テンソル計算対角化と固有値問題Jordan標準形特異値分解と一般化逆行列基礎解析数列 Abbott実数の位相Abbottユークリッド空間距離空間位相論位相の作り方，可算公理，Hausdorff，コンパクト，(連結)順序集合ネットとフィルター微分いろいろな微分 Rnの全微分，方向微分，Frechet微分，Gateaux微分Radon-Nikodym と Lebesgue微分grad,div,rot多様体上の微分 Lie微分，共変微分スタブ積分論測度論Riemann積分Stieltjes積分多様体上の積分線積分，面積分，1-form，Stokesの定理スタブ複素積分スタブ伊藤積分スタブ関数解析関数列の一様収束 AbbottFourier展開関数解析Hilbert空間論スタブODE論線形および一般の場合の解の存在と一意性，構成法Green関数法スタブStrum-Liouville スタブDirichlet問題と変分原理 Dirichlet問題，変分問題とEuler-Lagrange方程式，解析力学と極小曲面多様体論曲線論曲面論曲面論の導入関数論複素関数論確率論確率論有名な分布代数学多項式環多項式環，有理関数体，多項式環のイデアルGalois理論スタブGröbner基底 Tips 閉，コンパクト，完備(外部リンク)//www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1317-4.pdf量子化された調和振動子の計算Fisher Information MatrixFourier級数からLaplace変換勾配は接平面に直行する正規系の解き方dyadic product （外積, outer product）の性質外部お役立ちリンクス東大数理情報第2研究室（室田・牧野研究室）による，有界閉とコンパクト，点列コンパクトについての解説有界閉とコンパクト（電通大）内藤敏機　による，実数論から現代解析までこれ一本でＯＫのpdf現代解析学基礎論第一数学勉強会Encounter with MathematicsJames Millins による，代数学の講義ノートJames Millins小沢先生による位相幾何学(？)ノート３次元多様体いろいろストーリーが丁寧に書いてあってありがたいサイト未確認飛行物体C++（東工大）井上先生によるNS方程式ノートNavier-Stokes方程式と調和解析学入門2007K大数学のひとが作ったと思われる足跡Care about me数値計算について数値計算マニュアルNumerical Recipe小澤先生 Banachの不動点定理からPicards iterationとかKantrovichの不等式とか逐次近似法名大非線形最適化と関数解析適応システム特論大阪教育ウェーブレット入門「人生４回目」の線形代数。数値計算と作用素論的視点。ダンフォード積分とかスペクトル半径とか。線形代数ノート専門とか PRMLbashニューラルネットtexMathematicaRC++gnuplotMakefile分割コンパイル Makefileとかネットワーク VPNとかファイルシステムいろんなもののパス回路理論システム解析と制御理論情報源符号化エントロピー通信路符号化解析力学英語 TOEFLのまとめWordster advanced 本本雑多な事項人物ご飯４年ゼミ割り当て花火院試まとめ行ってみたいところagenda1-pointterminology 下書きとかメモとか位相メモ（仮）ニューラルメモ（仮）科学史メモ（仮）収束メモ（仮）空間メモ（仮）
2010年01月23日 16:45:04